Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 + 4 i \\ 2 - 4 i \\ 1 - 2 i \end{array}]$

Paso 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 2 + 4 i |}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 4^{2}}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 16}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $4$ y $16$ .

$\sqrt{{\sqrt{20}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.5

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.7

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.9

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.9.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{20 + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.11

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{20 + {\sqrt{2^{2} + {(- 4)}^{2}}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{4 + {(- 4)}^{2}}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.13

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{4 + 16}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.14

Suma $4$ y $16$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{20}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.15

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.15.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.15.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.16

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{20 + {(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.17

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{20 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.18

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{20 + 4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.19

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.19.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.19.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.19.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.19.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.19.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.19.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5^{1} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.19.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5 + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.20

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{20 + 20 + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.21

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{20 + 20 + {\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.22

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{20 + 20 + {\sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.23

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{20 + 20 + {\sqrt{1 + 4}}^{2}}$

Paso 2.24

Suma $1$ y $4$ .

$\sqrt{20 + 20 + {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.25

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.25.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 + 20 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.25.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 + 20 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.25.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{20 + 20 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.25.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.25.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{20 + 20 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.25.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{20 + 20 + 5^{1}}$

Paso 2.25.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{20 + 20 + 5}$

Paso 2.26

Suma $20$ y $20$ .

$\sqrt{40 + 5}$

Paso 2.27

Suma $40$ y $5$ .

$\sqrt{45}$

Paso 2.28

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.28.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\sqrt{9 (5)}$

Paso 2.28.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Paso 2.29

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \sqrt{5}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$3 \sqrt{5}$

Forma decimal:

$6.70820393 \dots$